Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2}{y + 1}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y + 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + 2}{y + 1}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + 2}{y + 1}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y + 1) d y = (x^{2} + 2) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y + 1 d y = \int x^{2} + 2 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int d y = \int x^{2} + 2 d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} + 2 d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} + 2 d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} + 2 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 2 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 2 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 2 x + C_{5}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + 2 x + K$

Bước 3.3

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $\frac{x^{3}}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = 2 x + K$

Bước 3.3.2

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - 2 x = K$

Bước 3.3.3

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - 2 x - K = 0$

Bước 3.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $6$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{3}}{3}$ vào tử số.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- 2 x) + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.4

Nhân $- 2$ với $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 12 x + 6 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.5

Nhân $- 1$ với $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 12 x - 6 K = 0$

Bước 3.4.3

Di chuyển $- 12 x$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K - 12 x = 0$

Bước 3.4.4

Di chuyển $6 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y - 12 x = 0$

Bước 3.4.5

Sắp xếp lại $3 y^{2}$ và $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 6 K + 6 y - 12 x = 0$

Bước 3.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.6

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = 6$ , và $c = - 2 x^{3} - 6 K - 12 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K - 12 x))}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K - 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K - 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 6 K) - 12 (- 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.4.1

Nhân $- 2$ với $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} - 12 (- 6 K) - 12 (- 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.4.2

Nhân $- 6$ với $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 72 K - 12 (- 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.4.3

Nhân $- 12$ với $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 72 K + 144 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.5

Đưa $12$ ra ngoài $36 + 24 x^{3} + 72 K + 144 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1

Đưa $12$ ra ngoài $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 x^{3} + 72 K + 144 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.5.2

Đưa $12$ ra ngoài $24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 72 K + 144 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.5.3

Đưa $12$ ra ngoài $72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (6 K) + 144 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.5.4

Đưa $12$ ra ngoài $144 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (6 K) + 12 (12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.5.5

Đưa $12$ ra ngoài $12 (3) + 12 (2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (6 K) + 12 (12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.5.6

Đưa $12$ ra ngoài $12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 6 K) + 12 (12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.5.7

Đưa $12$ ra ngoài $12 (3 + 2 x^{3} + 6 K) + 12 (12 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.6

Viết lại $12 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.6.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x))}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.6.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x))}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{6}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{6}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{3}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 6 K + 12 x + 3)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 6 K + 12 x)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 6 K + 12 x + 3)}}{3}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + K + 12 x)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + K + 12 x + 3)}}{3}$