Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int x d x}$

Bước 1.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Bước 1.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = x d x$ , nên $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 6.1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 6.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Bước 6.1.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Bước 6.1.1.4.2

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Bước 6.1.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2}$

Bước 6.1.1.4.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x$

Bước 6.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = e^{u_{1}}$ và $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.3.5

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.4

Vì $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.5.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.6

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

Bước 6.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Viết lại $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ ở dạng $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 6.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Trừ $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ khỏi $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Bước 6.7.2.2

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ cho $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ cho $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ .

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

Bước 9

Cho tử bằng không.

$C = 0$

Bước 10

Thay $0$ cho $C$ trong $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $0$ bằng $C$ .

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 10.2

Chia $0$ cho $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$y = 0$