Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = e^{x} x^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = e^{x} x^{3}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = e^{x} x^{3}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 3}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{3}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{3}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{3 y}{x}$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.2.4.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.2.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.2.4.2.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} e^{x})$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} e^{x})$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = e^{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = e^{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int e^{x} d x$

Bước 7

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = e^{x} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{3}}$ và $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} = e^{x} + C$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế với $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (e^{x} + C) x^{3}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (e^{x} + C) x^{3}$

Bước 8.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (e^{x} + C) x^{3}$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(e^{x} + C) x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = e^{x} x^{3} + C x^{3}$

Bước 8.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{3} + C x^{3}$ .

$y = x^{3} e^{x} + C x^{3}$

Bước 8.3.2.1.2.2

Sắp xếp lại $x^{3} e^{x}$ và $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} + x^{3} e^{x}$