Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$

Bước 1

Để giải phương trình vi phân, để $v = y^{1 - n}$ trong đó $n$ là số mũ của $y^{\frac{3}{4}}$ .

$v = y^{\frac{1}{4}}$

Bước 2

Giải phương trình để tìm $y$ .

$y = v^{4}$

Bước 3

Lấy đạo hàm của $y$ đối với $x$ .

$y' = v^{4}$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $v^{4}$ đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lấy đạo hàm của $v^{4}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{4}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [v]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$y' = 4 u^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $v$ .

$y' = 4 v^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Bước 4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$y' = 4 v^{3} v'$

Bước 5

Thay $4 v^{3} v'$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $v^{4}$ cho $y$ trong phương trình gốc $\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$ .

$4 v^{3} v' + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ cho $4 v^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ cho $4 v^{3}$ .

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $v^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.2.2

Chia $\frac{d v}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 (v^{3})} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v^{4}}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $v^{4}$ và $v^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.4.1

Đưa $v^{3}$ ra ngoài $2 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.4.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.2.1.4.2.4

Chia $2 v$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{4 v^{3}}$

Bước 6.1.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Bước 6.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Bước 6.1.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{2 v^{3}}$

Bước 6.1.1.3.3

Nhân các số mũ trong ${(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Bước 6.1.1.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Bước 6.1.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $v^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Bước 6.1.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3}}{2}$

Bước 6.1.2

Viết lại phương trình với các hệ số đã tách riêng.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{1}{2} x^{3}$

Bước 6.2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 d x}$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 x + C}$

Bước 6.2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 x}$

Bước 6.3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Bước 6.3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Bước 6.3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3}$

Bước 6.3.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x}}{2} x^{3}$

Bước 6.3.5

Kết hợp $\frac{e^{2 x}}{2}$ và $x^{3}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$

Bước 6.3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Bước 6.4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Bước 6.5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Bước 6.6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 x} v = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Bước 6.7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \int x^{3} e^{2 x} d x$

Bước 6.7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{3}$ và $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 6.7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 6.7.3.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 6.7.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Bước 6.7.3.4

Kết hợp $3$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x}}{2} x^{2} d x)$

Bước 6.7.3.5

Kết hợp $\frac{3 e^{2 x}}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{2} d x)$

Bước 6.7.4

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 x} x^{2} d x))$

Bước 6.7.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Bước 6.7.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Bước 6.7.6.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Bước 6.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x))$

Bước 6.7.6.4

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x))$

Bước 6.7.6.5

Kết hợp $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ và $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Bước 6.7.6.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.6.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Bước 6.7.6.6.2

Chia $e^{2 x} x$ cho $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x))$

Bước 6.7.7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Bước 6.7.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Bước 6.7.8.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Bước 6.7.8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)))$

Bước 6.7.9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))))$

Bước 6.7.10

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.10.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.10.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.7.10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.7.10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.7.10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.7.10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)))$

Bước 6.7.11

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Bước 6.7.12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Bước 6.7.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.13.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)))$

Bước 6.7.13.2

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Bước 6.7.14

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$

Bước 6.7.15

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$ ở dạng $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Bước 6.7.16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Bước 6.7.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Bước 6.7.17.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.17.2.1

Kết hợp.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Bước 6.7.17.2.2

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.17.2.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Bước 6.7.17.2.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Bước 6.7.17.2.3

Kết hợp.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Bước 6.7.17.2.4

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.17.2.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3 e^{2 x}}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{2 \cdot 8} + C$

Bước 6.7.17.2.4.2

Nhân $2$ với $8$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Bước 6.7.17.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.17.3.1

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Bước 6.7.17.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Bước 6.7.17.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Bước 6.7.17.3.4

Nhân $2$ với $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Bước 6.7.18

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{2 x} v = \frac{1}{4} x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Bước 6.8

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{3}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3}}{4} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Bước 6.8.1.2

Kết hợp $\frac{x^{3}}{4}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Bước 6.8.1.3

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Bước 6.8.1.4

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Bước 6.8.1.5

Kết hợp $\frac{3}{8}$ và $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x}{8} e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Bước 6.8.1.6

Kết hợp $\frac{3 x}{8}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Bước 6.8.1.7

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{3}{16}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$

Bước 6.8.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ cho $e^{2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ cho $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 6.8.2.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.2

Kết hợp.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 6.8.2.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{x^{3} \cdot 1}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.4

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{2 x} x^{2}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 \cdot (e^{2 x} x^{2})}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.7

Nhân $\frac{1}{e^{2 x}}$ với $\frac{3 e^{2 x} x^{2}}{8}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.3.1.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.8.2

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.9

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.10

Kết hợp.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.11

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.3.1.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.11.2

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.12

Nhân $3$ với $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.13

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.14

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 \cdot e^{2 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.15

Nhân $\frac{1}{e^{2 x}}$ với $\frac{3 e^{2 x}}{16}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.16

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.3.1.16.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 6.8.2.3.1.16.2

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 7

Thay $y^{\frac{1}{4}}$ bằng $v$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$