Giải tích Ví dụ

$4 (y d) x + 3 x d y = 0$

Bước 1

Trừ $4 y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x d y = - 4 y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3}{y} d y = - 4 \frac{1}{x y} y d x$

Bước 3.5

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x y} y d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{4}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{4}{x} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4}{x} d x$

Bước 4.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 4 \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Rút gọn $3 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2.1.1.2

Rút gọn $4 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = C$

Bước 5.2.1.1.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{4}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{4}) = C$

Bước 5.2.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{4}) = C$

Bước 5.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln ({| y |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{4} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{4} {| y |}^{3}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ cho $x^{4}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ cho $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Bước 5.5.2.2.1.2

Chia ${| y |}^{3}$ cho $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Bước 5.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$

Bước 5.5.4

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Viết lại $\frac{e^{C}}{x^{4}}$ ở dạng ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{3}$ ra ngoài $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{4}}}$

Bước 5.5.4.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $x^{3}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}}$

Bước 5.5.4.1.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}$ .

$| y | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}}$

Bước 5.5.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| y | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$

Bước 5.5.4.3

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| y | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 5.5.4.4

Kết hợp.

$| y | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Bước 5.5.4.5

Nhân $\sqrt[3]{e^{C}}$ với $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Bước 5.5.4.6

Nhân $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.5.4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.7.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.5.4.7.2

Di chuyển $\sqrt[3]{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Bước 5.5.4.7.3

Nâng $\sqrt[3]{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Bước 5.5.4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Bước 5.5.4.7.5

Cộng $1$ và $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Bước 5.5.4.7.6

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 5.5.4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 5.5.4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 5.5.4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 5.5.4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Bước 5.5.4.7.6.5

Rút gọn.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Bước 5.5.4.8

Nhân $x$ với $x$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.9

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.10

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.5

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}}$