Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ , nên $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Bước 2.3.2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Bước 2.3.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.3.2.1.3.2

Kết hợp $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Bước 2.3.2.1.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Bước 2.3.2.1.3.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Bước 2.3.2.1.3.4.3

Kết hợp $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ và $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Bước 2.3.2.1.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Bước 2.3.2.1.3.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.4.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Bước 2.3.2.1.3.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.1.3.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Bước 2.3.2.1.3.4.4.2.4

Chia $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ cho $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Bước 2.3.2.1.3.4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Nhân $u_{2}$ với $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Bước 2.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$