Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 3 x + 2$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 3 x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.3.1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ .

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Bước 4.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Bước 4.2.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Bước 4.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Bước 4.2.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Bước 4.2.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{4}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Bước 4.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 4.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Bước 4.3.4

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Bước 4.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$K = - \frac{1}{3}$

Bước 5

Thay $- \frac{1}{3}$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{1}{3}$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.5

Nhân $27$ với $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.6

Nhân $2$ với $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.9

Nhân $9$ với $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.11

Nhân $4$ với $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.12

Nhân $3$ với $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.14

Nhân $8$ với $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.15

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $81 x^{4}$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.1.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp $27$ và $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $\frac{27}{4}$ và $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Đưa $12$ ra ngoài $216 x^{3}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.5.1

Đưa $12$ ra ngoài $216 x^{2}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.5.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.6

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.6.1

Đưa $12$ ra ngoài $96 x$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.7

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.7.2

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.7.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.4.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Bước 5.4

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Bước 5.5

Chia $3$ cho $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$