Giải tích Ví dụ

$x e^{x^{2}} d x + (y^{5} - 1) d y = 0$

Bước 1

Trừ $x e^{x^{2}} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(y^{5} - 1) d y = - x e^{x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y^{5} - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{5} d y + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{5}$ đối với $y$ là $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} - y + C_{2} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int x e^{x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 2.3.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Bước 2.3.2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $- (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$ ở dạng $- \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$

Bước 2.3.4.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$