Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Bước 1

Để $V = \frac{y}{t}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Bước 2

Giải $V = \frac{y}{t}$ để tìm $y$ .

$y = V t$

Bước 3

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V t$ tương ứng với $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Bước 4

Thay $t \frac{d V}{d t} + V$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Bước 5

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d t}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Bước 5.1.1.1.2

Trừ $V$ khỏi $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Bước 5.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ cho $t$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ cho $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Bước 5.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Bước 5.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Bước 5.1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Bước 5.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Bước 5.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 V + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Bước 5.1.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Bước 5.1.2.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Bước 5.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Bước 5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $- V + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Đưa $- V + 1$ ra ngoài $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Bước 5.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Bước 5.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Bước 5.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giả sử $u = - V + 1$ . Sau đó $d u = - d V$ , nên $- d u = d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Hãy đặt $u = - V + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 5.2.2.1.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2.2.2

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2.2.5

Rút gọn.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 5.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Bước 5.2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Bước 5.2.3.3

Rút gọn.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Bước 5.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Bước 5.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (| t |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Bước 5.3.2.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| t |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Bước 5.3.3

Cộng $\ln (t^{2})$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Bước 5.3.4

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Bước 5.3.4.2.2

Chia $\ln (| - V + 1 |)$ cho $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Bước 5.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Bước 5.3.4.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Bước 5.3.4.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Bước 5.3.4.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ ở dạng $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Bước 5.3.5

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Bước 5.3.6

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Bước 5.3.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Bước 5.3.8

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Bước 5.3.9

Viết lại $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Bước 5.3.10

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.1

Viết lại phương trình ở dạng $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Bước 5.3.10.2

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ cho $t^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.2.1

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ cho $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Bước 5.3.10.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Bước 5.3.10.2.2.1.2

Chia $| - V + 1 |$ cho $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Bước 5.3.10.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Bước 5.3.10.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Bước 5.3.10.5

Chia mỗi số hạng trong $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.10.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.5.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.10.5.2.2

Chia $V$ cho $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.10.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.5.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.10.5.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ ở dạng $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.10.5.3.1.3

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Bước 5.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Bước 5.4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Bước 6

Thay $\frac{y}{t}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Bước 7

Giải $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân cả hai vế với $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Bước 7.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Rút gọn $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{t^{2}}$ và $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Bước 7.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Bước 7.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{C}{t^{2}}$ vào tử số.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Bước 7.2.2.1.3.2

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Bước 7.2.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Bước 7.2.2.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Bước 7.2.2.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.4.1

Nhân $t$ với $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Bước 7.2.2.1.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Bước 7.2.2.1.4.3

Sắp xếp lại $- \frac{C}{t}$ và $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$