Giải tích Ví dụ

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $1$ với $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.2.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = 2$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $2$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Bước 5.3

Thay $1$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $1$ bằng $M$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Bước 5.3.2

Chia $2 + 0$ cho $1$ .

$2 + 0$

Bước 5.3.3

Thay $1$ bằng $M$ .

$2$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int 2 d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Bước 6.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $d x + (y + 2 x) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $1$ với $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $y + 2 x$ với $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = e^{2 y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 y} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{2 y} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 12.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $2 x e^{2 y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Trừ $2 x e^{2 y}$ khỏi $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Bước 13.1.2.2

Cộng $y e^{2 y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $y e^{2 y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Bước 14.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Bước 14.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Bước 14.4.2

Kết hợp $y$ và $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Bước 14.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Bước 14.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Bước 14.7

Giả sử $u = 2 y$ . Sau đó $d u = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.7.1

Hãy đặt $u = 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.7.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 14.7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 14.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 14.7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 14.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 14.8

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 14.9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Bước 14.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Bước 14.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Bước 14.11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Bước 14.12

Viết lại $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Bước 14.13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Bước 16

Rút gọn $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Bước 16.1.2

Kết hợp $\frac{y}{2}$ và $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Bước 16.1.3

Kết hợp $e^{2 y}$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Bước 16.2

Trừ $\frac{e^{2 y}}{4}$ khỏi $e^{2 y} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Sắp xếp lại $e^{2 y}$ và $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Bước 16.2.2

Để viết $x e^{2 y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Bước 16.2.3

Kết hợp $x e^{2 y}$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Bước 16.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Bước 16.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Bước 16.3.2

Đưa $e^{2 y}$ ra ngoài $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.1

Đưa $e^{2 y}$ ra ngoài $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Bước 16.3.2.2

Đưa $e^{2 y}$ ra ngoài $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Bước 16.3.2.3

Đưa $e^{2 y}$ ra ngoài $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Bước 16.4

Để viết $\frac{y e^{2 y}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Bước 16.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Nhân $\frac{y e^{2 y}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Bước 16.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Bước 16.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Bước 16.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1

Đưa $e^{2 y}$ ra ngoài $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.1

Đưa $e^{2 y}$ ra ngoài $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Bước 16.7.1.2

Đưa $e^{2 y}$ ra ngoài $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Bước 16.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$