Giải tích Ví dụ

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Bước 1

Trừ $e^{x} (y - 1) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ vào tử số.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3.5.2

Đưa $y - 1$ ra ngoài $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Bước 3.5.3

Đưa $y - 1$ ra ngoài $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Bước 3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Bước 3.5.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ và $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4.2.2

Giả sử $u_{1} = y - 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Hãy đặt $u_{1} = y - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Tính đạo hàm $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 4.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 4.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 4.2.2.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.2.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4.2.3

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4.2.4

Rút gọn.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4.2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u_{2} = e^{x} + 4$ . Sau đó $d u_{2} = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x} + 4$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 4.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 4.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0$

Bước 4.3.2.1.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x}$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 4.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y - 1 |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Bước 5.2.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y - 1 |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Bước 5.2.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Bước 5.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Bước 5.3

Khai triển $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ ở dạng $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Bước 5.3.2

Khai triển $\ln ({(y - 1)}^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Bước 5.4

Phương trình ở dạng khai triển là $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Bước 5.5

Trừ $\ln (| e^{x} + 4 |)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Bước 5.6

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ cho $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Bước 5.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Bước 5.6.2.1.2

Chia $\ln (y - 1)$ cho $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Bước 5.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Bước 5.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Bước 5.8

Viết lại $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Bước 5.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Bước 5.9.2

Rút gọn $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Bước 5.9.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Bước 5.9.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Bước 5.9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Bước 5.9.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.2.1

Tách phân số $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ thành hai phân số.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Bước 5.9.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Bước 6.3

Viết lại $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Bước 6.4

Sắp xếp lại $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$