Giải tích Ví dụ

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y - 7 d x = 0$

Bước 1

Cộng $7 d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y = 7 d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 - x^{2}$ ra ngoài $(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) (\cos (3 y))) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1^{2} - x^{2}} \cdot 7 d x$

Bước 3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} \cdot 7 d x$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ và $7$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \cos (3 y) d y = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{1} = 3 y$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d y$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Bước 4.2.1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 4.2.1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\cos (u_{1})$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.2.4

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 y$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.3.2

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Bước 4.3.2.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.6.1.2

Chia $(A) (1 - x)$ cho $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.6.3

Nhân $A$ với $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.6.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.6.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.6.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.3.2.1.6.5.2

Chia $(B) (1 + x)$ cho $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Bước 4.3.2.1.6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Bước 4.3.2.1.6.7

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Bước 4.3.2.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.7.1

Di chuyển $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Bước 4.3.2.1.7.2

Sắp xếp lại $B$ và $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Bước 4.3.2.1.7.3

Di chuyển $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Bước 4.3.2.1.7.4

Di chuyển $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Bước 4.3.2.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = - 1 A + B$

Bước 4.3.2.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A + B$

Bước 4.3.2.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Bước 4.3.2.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Giải tìm $A$ trong $1 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Bước 4.3.2.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Bước 4.3.2.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $1 - B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $0 = - 1 A + B$ bằng $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.2.1

Rút gọn $- 1 (1 - B) + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Nhân $- 1 (- B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Nhân $B$ với $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.2.2.1.2

Cộng $B$ và $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.3

Giải tìm $B$ trong $0 = - 1 + 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Bước 4.3.2.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $\frac{1}{2}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = 1 - B$ bằng $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 4.3.2.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.4.2.1

Rút gọn $1 - (\frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.4.2.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 4.3.2.3.4.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 4.3.2.3.4.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 4.3.2.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Bước 4.3.2.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Bước 4.3.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Bước 4.3.2.5.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Bước 4.3.2.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Bước 4.3.2.5.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Bước 4.3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 4.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 4.3.5

Giả sử $u_{2} = 1 + x$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.5.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 4.3.5.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 4.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 4.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 4.3.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Bước 4.3.8

Giả sử $u_{3} = 1 - x$ . Sau đó $d u_{3} = - d x$ , nên $- d u_{3} = d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Hãy đặt $u_{3} = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 4.3.8.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 4.3.8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Bước 4.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Bước 4.3.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Bước 4.3.11

Tích phân của $\frac{1}{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Bước 4.3.12

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Bước 4.3.13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Bước 4.3.13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Bước 4.3.14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn các biểu thức trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sin (3 y)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| 1 + x |)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Bước 5.1.2.1.1.2

Kết hợp $\ln (| 1 - x |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Bước 5.1.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 \frac{\ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Bước 5.1.2.1.3

Kết hợp $7$ và $\frac{\ln (| 1 + x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Bước 5.1.2.1.4

Nhân $7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - 7 \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Bước 5.1.2.1.4.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{\ln (| 1 - x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Bước 5.1.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Bước 5.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ với $6$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ với $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot 6 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 (2)) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 \cdot 2) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (3 y) \cdot 2 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 \sin (3 y) = 7 \ln (| 1 + x |) \cdot 3 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.2

Nhân $3$ với $7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2}$ vào tử số.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 (3)) + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 7 \ln (| 1 - x |) \cdot 3 + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.4

Nhân $3$ với $- 7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + C \cdot 6$

Bước 5.2.3.1.5

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $C$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn $21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Rút gọn $21 \ln (| 1 + x |)$ bằng cách di chuyển $21$ trong logarit.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Bước 5.3.1.1.2

Rút gọn $- 21 \ln (| 1 - x |)$ bằng cách di chuyển $21$ trong logarit.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - \ln ({| 1 - x |}^{21}) + 6 C$

Bước 5.3.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \sin (3 y) = \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 6 C$

Bước 5.4

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) = - 2 \sin (3 y) + 6 C$

Bước 5.5

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- 2 \sin (3 y) + 6 C = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$

Bước 5.6

Trừ $6 C$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$

Bước 5.7

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Bước 5.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Bước 5.7.2.1.2

Chia $\sin (3 y)$ cho $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Bước 5.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Bước 5.7.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1.2.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 6 C$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2}$

Bước 5.7.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1.2.2.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 (1)}$

Bước 5.7.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 \cdot 1}$

Bước 5.7.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{3 C}{1}$

Bước 5.7.3.1.2.2.4

Chia $3 C$ cho $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C$

Bước 5.8

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$3 y = \arcsin (\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C)$

Bước 5.9

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.1

Viết lại $\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ .

$3 y = \arcsin (\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 3 C)$

Bước 5.9.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$3 y = \arcsin (\ln ({(\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}^{\frac{1}{2}}) + 3 C)$

Bước 5.9.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Bước 5.9.1.4

Nhân các số mũ trong ${({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21 (\frac{1}{2})}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Bước 5.9.1.4.2

Kết hợp $21$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Bước 5.9.1.5

Nhân các số mũ trong ${({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{21 (\frac{1}{2})}}) + 3 C)$

Bước 5.9.1.5.2

Kết hợp $21$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$

Bước 5.10

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Bước 5.10.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Bước 5.10.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + C)}{3}$