Giải tích Ví dụ

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Bước 1

Trừ $d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $- 1$ .

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3.2.3

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Bước 4.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Viết lại $- (- x^{- 1} + C_{2})$ ở dạng $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Bước 4.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Bước 4.3.4.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

Bước 5.2

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

Bước 5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

Bước 5.2.3

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 5.2.4

Nhân $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.2.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.2.5.2

Nâng $\sqrt[3]{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.2.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Bước 5.2.5.4

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Bước 5.2.5.5

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 5.2.5.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 5.2.5.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 5.2.5.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 5.2.5.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Bước 5.2.5.5.5

Rút gọn.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Bước 5.2.6

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Bước 5.2.7

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

Bước 5.2.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$