Giải tích Ví dụ

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

Bước 1

Cộng $y d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$(1 - x) d y = y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 - x$ ra ngoài $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giả sử $u = 1 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Hãy đặt $u = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 4.3.1.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 4.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 4.3.2

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 4.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

Bước 5.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $y$ với $1$ .

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

Bước 5.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\ln (| y - y x |) = C$

Bước 5.6

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

Bước 5.7

Viết lại $\ln (| y - y x |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - y x |$

Bước 5.8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y - y x | = e^{C}$ .

$| y - y x | = e^{C}$

Bước 5.8.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y - y x = \pm e^{C}$

Bước 5.8.3

Đưa $y$ ra ngoài $y - y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

Bước 5.8.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

Bước 5.8.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

Bước 5.8.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

Bước 5.8.5

Chia mỗi số hạng trong $y (1 - x) = \pm e^{C}$ cho $1 - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y (1 - x) = \pm e^{C}$ cho $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Bước 5.8.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Bước 5.8.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{1 - x}$