Giải tích Ví dụ

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(x - 3) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 3$ và $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 1.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.9

Nhân $y$ với $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

Bước 5.2

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

Bước 5.3

Rút gọn.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ cho $x - 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ cho $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$