Giải tích Ví dụ

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Bước 1

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $y = e^{r t}$ .

Bước 2

Tìm phương trình đặc trưng của $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Bước 2.3

Thay vào phương trình vi phân.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Bước 2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Bước 2.5

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $3 r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Bước 2.5.2

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Bước 2.5.3

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Bước 2.5.4

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $- e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Bước 2.5.5

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Bước 2.6

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.2

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = 4$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $16$ và $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Bước 3.3.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.1.2.2

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.1.3

Cộng $16$ và $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Bước 3.4.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.4.5

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Bước 3.4.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Bước 3.4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.5.1.2.2

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.5.1.3

Cộng $16$ và $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.5.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Bước 3.5.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.5.5

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Bước 3.5.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Bước 3.5.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Bước 3.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Bước 4

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Bước 5

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $t$ và $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Bước 6.2

Kết hợp $t$ và $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$