Giải tích Ví dụ

$(y^{2} + 1) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Bước 1

Trừ $(y^{2} + 1) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(x^{2} + 1) d y = - (y^{2} + 1) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)}$ vào tử số.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 4.3.3

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Bước 5.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.3.2.2

Chia $\arctan (x)$ cho $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \arctan (y)$ ở dạng $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.3.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Bước 5.3.3.1.4

Chia $K$ cho $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Bước 5.4

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Bước 5.5

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Bước 5.6

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Bước 5.7

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Bước 5.8

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.8.2.2

Chia $\arctan (y)$ cho $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.8.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \arctan (x)$ ở dạng $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.8.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Bước 5.8.3.1.4

Chia $K$ cho $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Bước 5.9

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Bước 5.10

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Bước 5.11

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Bước 5.12

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Bước 5.13

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.13.1

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.13.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.13.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.13.2.2

Chia $\arctan (y)$ cho $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.13.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.13.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.13.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.13.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \arctan (x)$ ở dạng $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.13.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Bước 5.13.3.1.4

Chia $K$ cho $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Bước 5.14

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$