Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} - 3 x$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (e^{2 x} - 3 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int e^{2 x} - 3 x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 3 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.6

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) - 3 \int x d x$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} - \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} + K$