Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 6 - 2 \cos (3 x)$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (6 - 2 \cos (3 x)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 6 d x + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.3.4

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.3.4.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.3.4.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.5

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \frac{- 2}{3} \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} (\sin (u) + C_{3})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (u) + C_{4}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (3 x) + C_{4}$

Bước 2.3.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + K$