Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ , $y (9) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.3.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.3

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $9$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = 9^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $9^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$9^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

${(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$3^{1} + K = 0$

Bước 4.2.4

Tính số mũ.

$3 + K = 0$

Bước 4.3

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - 3$

Bước 5

Thay $- 3$ cho $K$ trong $y = x^{\frac{1}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 3$ bằng $K$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} - 3$