Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x^{2} e^{x^{2}}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 2 x d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $- 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 \int x d x}$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x^{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Bước 2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} (x^{2} e^{x^{2}})$

Bước 2.4

Nhân $e^{- x^{2}}$ với $e^{x^{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $e^{x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 (e^{x^{2}} e^{- x^{2}}) x^{2}$

Bước 2.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2} - x^{2}} x^{2}$

Bước 2.4.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{0} x^{2}$

Bước 2.5

Rút gọn $3 e^{0} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$

Bước 2.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x^{2}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x^{2}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x$

Bước 6.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 6.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Bước 6.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Bước 6.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{- x^{2}} y = 1 x^{3} + C$

Bước 6.3.2.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ cho $e^{- x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ cho $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$