Giải tích Ví dụ

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Bước 2.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 (x + y)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.5

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Bước 2.6.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = - 2$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- 2$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 + 0}{M}$

Bước 4.3

Thay $1$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $1$ bằng $M$ .

$\frac{- 2 + 0}{1}$

Bước 4.3.2

Chia $- 2 + 0$ cho $1$ .

$- 2 + 0$

Bước 4.3.3

Thay $1$ bằng $M$ .

$- 2$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - 2 d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

Bước 6

Nhân $1$ với $e^{- 2 y}$ .

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = e^{- 2 y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{- 2 y} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{- 2 y} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 y$ .

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.3.6

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 2 y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 11.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Cộng $2 x e^{- 2 y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Cộng $- 2 x e^{- 2 y}$ và $2 x e^{- 2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $- 2 y e^{- 2 y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- 2 y e^{- 2 y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Bước 13.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

Bước 13.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- 2 y}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Bước 13.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Kết hợp $e^{- 2 y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Bước 13.5.2

Kết hợp $y$ và $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Bước 13.5.3

Kết hợp $e^{- 2 y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Bước 13.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Bước 13.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Bước 13.7.2

Nhân $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ với $1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Bước 13.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

Bước 13.9

Giả sử $u = - 2 y$ . Sau đó $d u = - 2 d y$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1

Hãy đặt $u = - 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1.1

Tính đạo hàm $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 13.9.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 13.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 13.9.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 13.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Bước 13.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Bước 13.10.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 13.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Bước 13.12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Bước 13.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.13.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Bước 13.13.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 13.13.3

Nhân $2$ với $2$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 13.14

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Bước 13.15

Viết lại $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 13.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.16.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 13.16.2

Kết hợp $e^{- 2 y}$ và $\frac{y}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 13.16.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Bước 13.17

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 y$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ vào tử số.

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18.2.4

Viết lại biểu thức.

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18.4

Nhân $e^{- 2 y}$ với $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Bước 13.18.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ vào tử số.

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Bước 13.18.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Bước 13.18.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Bước 13.18.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Bước 13.18.5.5

Viết lại biểu thức.

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.6.2

Nhân $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.6.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.6.2.2

Nhân $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ với $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.7

Kết hợp $e^{- 2 y} y$ và $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.7.1

Sắp xếp lại $e^{- 2 y}$ và $y$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.7.2

Để viết $y e^{- 2 y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.7.3

Kết hợp $y e^{- 2 y}$ và $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.8.1

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.18.8.1.1

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 13.18.8.1.2

Nhân với $1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Bước 13.18.8.1.3

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Bước 13.18.8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Bước 13.19

Sắp xếp lại các số hạng.

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{- 2 y}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

Bước 15.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Bước 15.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Bước 15.1.4

Nhân $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ với $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.6

Kết hợp $e^{- 2 y} y$ và $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.6.1

Sắp xếp lại $e^{- 2 y}$ và $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.6.2

Để viết $y e^{- 2 y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.6.3

Kết hợp $y e^{- 2 y}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.7.1

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.7.1.1

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Bước 15.1.7.1.2

Nhân với $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Bước 15.1.7.1.3

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Bước 15.1.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Bước 15.2

Để viết $e^{- 2 y} x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $e^{- 2 y} x$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Bước 15.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Bước 15.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1.1

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $e^{- 2 y} x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Bước 15.5.1.2

Đưa $e^{- 2 y}$ ra ngoài $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

Bước 15.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$