Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2^{2}$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Bước 4.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Bước 4.3.1.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

Bước 4.3.1.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

Bước 4.3.1.2

Cộng $2$ và $4$ .

$- 1 + K = 6$

Bước 4.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 6 + 1$

Bước 4.4.2

Cộng $6$ và $1$ .

$K = 7$

Bước 5

Thay $7$ cho $K$ trong $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $7$ bằng $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$