Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y - 1$ .

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 8$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y - 1) d y = (3 x + 8) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 8 d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int 3 x + 8 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + C_{6}$

Bước 2.3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + K$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + K$

Bước 3.3

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $\frac{3 x^{2}}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} = 8 x + K$

Bước 3.3.2

Trừ $8 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} - 8 x = K$

Bước 3.3.3

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} - 8 x - K = 0$

Bước 3.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} - 2 y + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3 x^{2}}{2}$ vào tử số.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- 3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- 3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.4

Nhân $- 8$ với $2$ .

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} - 16 x + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} - 16 x - 2 K = 0$

Bước 3.4.3

Di chuyển $- 2 y$ .

$y^{2} - 3 x^{2} - 16 x - 2 K - 2 y = 0$

Bước 3.4.4

Di chuyển $- 16 x$ .

$y^{2} - 3 x^{2} - 2 K - 16 x - 2 y = 0$

Bước 3.4.5

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + y^{2} - 2 K - 16 x - 2 y = 0$

Bước 3.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - 3 x^{2} - 2 K - 16 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.4.1

Nhân $- 3$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4.2

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} + 8 K - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4.3

Nhân $- 16$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 12 x^{2} + 8 K + 64 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 12 x^{2} + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.3

Đưa $4$ ra ngoài $8 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 4 (2 K) + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.4

Đưa $4$ ra ngoài $64 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1 + 3 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2} + 2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.7

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1 + 3 x^{2} + 2 K) + 4 (16 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6

Viết lại $4 (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)$ ở dạng $2^{2} (1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + K + 16 x}$