Giải tích Ví dụ

$(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 3 x y - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x y - y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $y$ là $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - (2 y)$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x (x - y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \cdot 1$

Bước 2.3.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $x - y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - y$

Bước 2.3.6.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3 x - 2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x - y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x - 2 y = 2 x - y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$3 x - 2 y = 2 x - y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $3 x - 2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x - 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $2 x - y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $x (x - y)$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x (x - y)$ bằng $N$ .

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{x (x - y)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x - 2 y - (2 x) - - y}{x (x - y)}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x - - y}{x (x - y)}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + 1 y}{x (x - y)}$

Bước 4.3.2.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + y}{x (x - y)}$

Bước 4.3.2.4

Trừ $2 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{x - 2 y + y}{x (x - y)}$

Bước 4.3.2.5

Cộng $- 2 y$ và $y$ .

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | x | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$ với hệ số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $3 x y - y^{2}$ với $x$ .

$(3 x y - y^{2}) x d x + x (x - y) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 x y x - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển $x$ .

$(3 (x \cdot x) y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Bước 6.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x (x - y)$ với $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) x d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x \cdot x (x - y) d y = 0$

Bước 6.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x^{2} (x - y) d y = 0$

Bước 6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x + x^{2} (- y)) d y = 0$

Bước 6.7

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Bước 6.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Bước 6.7.2

Cộng $2$ và $1$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Bước 6.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} - x^{2} y) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - y^{2} x d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = 3 x^{2} y - y^{2} x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - y^{2} x d x$

Bước 8.2

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - y^{2} x d x$

Bước 8.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{2} x d x$

Bước 8.4

Vì $- y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} \int x d x$

Bước 8.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 8.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 8.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 8.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 8.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 1 y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 8.7.3

Nhân $y$ với $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 8.7.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 8.7.5

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Bước 8.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Bước 8.8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Bước 8.8.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x^{3}$ đối với $y$ là $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.3.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4

Tính $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.2

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.3

Vì $- \frac{x^{2}}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ đối với $y$ là $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{3} - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.7

Kết hợp $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ và $y$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2} y$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{3} + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.4.8.2.4

Chia $- x^{2} y$ cho $1$ .

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y$

Bước 11.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y - x^{3}$

Bước 12.1.2

Cộng $x^{2} y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Trừ $x^{3}$ khỏi $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + 0 + x^{2} y$

Bước 12.1.3.2

Cộng $- x^{2} y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + x^{2} y$

Bước 12.1.3.3

Cộng $- x^{2} y$ và $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Bước 13.3

Tích phân của $0$ đối với $y$ là $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Bước 13.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (y) = C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Bước 15.2

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$