Giải tích Ví dụ

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y - x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x = 2 x$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x y - x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Bước 5.2

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Bước 5.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 5.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 5.7.3

Nhân $y$ với $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 5.7.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 5.7.5

Để viết $y x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 5.7.6

Kết hợp $y x^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 5.7.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Bước 5.7.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Bước 5.7.9

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Bước 5.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y x^{2} - x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.3

Vì $2 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y x^{2}$ đối với $y$ là $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.5

Vì $- x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.7

Cộng $2 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.8

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.9

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.3.10.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $y^{2}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.4

Để viết $y x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.5

Kết hợp $y x^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.7.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.7.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.7.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.7.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12.1.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Bước 12.2

Để viết $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Bước 12.3

Để viết $\frac{y^{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 12.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 12.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 12.4.3

Nhân $\frac{y^{3}}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Bước 12.4.4

Nhân $3$ với $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6.4

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6.6

Nhân $3$ với $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Bước 12.6.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$