Giải tích Ví dụ

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

Bước 2.2

Vì $- 5 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 5 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{2} + 4 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.3.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $4 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $y^{2}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y^{2}$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = y^{2}$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $y^{2}$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

Bước 5.3

Thay $x y^{2} + 4 y^{2}$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $x y^{2} + 4 y^{2}$ bằng $N$ .

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Bước 5.3.2

Trừ $y^{2}$ khỏi $0$ .

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Bước 5.3.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $4 y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x + 4}$

Bước 5.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x + 4}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

Bước 6.2

Giả sử $u = x + 4$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u = x + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Bước 6.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 6.2.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 6.3

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Bước 6.4

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Bước 6.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

Bước 6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Rút gọn $- \ln (| x + 4 |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

Bước 6.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

Bước 6.6.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 5 x$ với $\frac{1}{x + 4}$ .

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{x + 4}$ .

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Bước 7.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{- 5}{x + 4}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Bước 7.3

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $x y^{2} + 4 y^{2}$ với $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

Bước 7.6

Nhân $x y^{2} + 4 y^{2}$ với $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Bước 7.7

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Bước 7.7.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $4 y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

Bước 7.7.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Bước 7.8

Triệt tiêu thừa số chung $x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Bước 7.8.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = y^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Bước 12.3

Vì $\frac{1}{3} y^{3}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{3} y^{3}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Bước 12.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- \frac{5 x}{x + 4}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Bước 13.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

Bước 13.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

Bước 13.5

Nhân $5$ với $- 1$ .

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

Bước 13.6

Chia $x$ cho $x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$4$

$x$

$0$

Bước 13.6.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

Bước 13.6.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

Bước 13.6.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x + 4$

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

Bước 13.6.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

Bước 13.6.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

Bước 13.7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Bước 13.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Bước 13.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

Bước 13.10

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Bước 13.11

Nhân $4$ với $- 1$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Bước 13.12

Giả sử $u = x + 4$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.12.1

Hãy đặt $u = x + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.12.1.1

Tính đạo hàm $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Bước 13.12.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 13.12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 13.12.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 13.12.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 13.12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 13.13

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

Bước 13.14

Rút gọn.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

Bước 13.15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 4$ .

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Bước 15.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.1

Rút gọn $- 4 \ln (| x + 4 |)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

Bước 15.1.2.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x + 4 |}^{4}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Bước 15.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Bước 15.1.4

Nhân $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

Bước 15.1.4.2

Rút gọn $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

Bước 15.1.5

Nhân các số mũ trong ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

Bước 15.1.5.2

Nhân $4$ với $5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

Bước 15.2

Để viết $\ln ({(x + 4)}^{20})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\ln ({(x + 4)}^{20})$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 15.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 15.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Nhân $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1.1

Sắp xếp lại $\ln ({(x + 4)}^{20})$ và $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

Bước 15.5.1.2

Rút gọn $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

Bước 15.5.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

Bước 15.5.2.2

Nhân $20$ với $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$