Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 1) = 8$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \cot (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \cot (x) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $- 1$ cho $x$ và $8$ cho $y$ trong $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$8 = \ln (| \sin (- 1) |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$ .

$\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Tính $\sin (- 1)$ .

$\ln (| - 0.0174524 |) + C = 8$

Bước 4.2.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 0.0174524$ và $0$ là $0.0174524$ .

$\ln (0.0174524) + C = 8$

Bước 4.3

Trừ $\ln (0.0174524)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 8 - \ln (0.0174524)$

Bước 5

Thay $8 - \ln (0.0174524)$ cho $C$ trong $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $8 - \ln (0.0174524)$ bằng $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + 8 - \ln (0.0174524)$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân với $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

Bước 5.3.2

Đưa $0.0174524$ ra ngoài $0.0174524$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524 (1)}) + 8$

Bước 5.3.3

Tách các phân số.

$y = \ln (\frac{1}{0.0174524} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

Bước 5.3.4

Chia $1$ cho $0.0174524$ .

$y = \ln (57.29868849 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

Bước 5.3.5

Chia $| \sin (x) |$ cho $1$ .

$y = \ln (57.29868849 | \sin (x) |) + 8$