Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{36}$ ở dạng ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4.2

Nhân $6$ với $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.2.4.4

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $6 \arctan (6 x) = t + K$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $6 \arctan (6 x) = t + K$ cho $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Bước 3.1.2.1.2

Chia $\arctan (6 x)$ cho $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Bước 3.2

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $x$ ra khỏi bên trong arctang.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ cho $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $2$ cho $x$ trong $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Bước 6.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Bước 6.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Bước 6.4

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $K$ từ trong hàm tang.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Bước 6.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{0}{6} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Chia $0$ cho $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Bước 6.5.1.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = \arctan (12)$

Bước 6.6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Tính $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Bước 6.7

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Bước 6.8

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Bước 6.8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Bước 6.8.3

Cộng $3.14159265$ và $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Bước 6.9

Tìm chu kỳ của $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 6.9.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 6.9.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 6.9.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 6.10

Chu kỳ của hàm $\tan (\frac{0}{6} + K)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6.11

Hợp nhất $1.48765509 + π n$ và $4.62924774 + π n$ để $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

Bước 7

Thay $1.48765509 + π n$ cho $K$ trong $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $1.48765509 + π n$ bằng $K$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$