Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ với $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + t^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 1 + t^{2}$ . Sau đó $d u = 2 t d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 + t^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 2.3.2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $0$ và $2 t$ .

$2 t$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

Bước 3.3

Rút gọn $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

Bước 3.5

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| 1 + t^{2} |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Bước 3.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Bước 3.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Bước 3.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$