Giải tích Ví dụ

$\frac{d u}{d r} = \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $7 + \sqrt{u}$ .

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (7 + \sqrt{u}) \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $7 + \sqrt{u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (7 + \sqrt{u}) \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 3 + \sqrt{r}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(7 + \sqrt{u}) d u = (3 + \sqrt{r}) d r$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 7 + \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 7 d u + \int \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$7 u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Bước 2.2.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$7 u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$7 u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$7 u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Bước 2.2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \int 3 d r + \int \sqrt{r} d r$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

Bước 2.3.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{r}$ ở dạng $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $r^{\frac{1}{2}}$ đối với $r$ là $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 3 r + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 3 r + K$