Giải tích Ví dụ

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y e^{2 x y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Bước 1.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.3

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Bước 1.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Bước 1.3.7

Nhân $e^{2 x y}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Cộng $0$ và $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

Bước 2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Bước 2.5.5

Nhân $e^{2 x y}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

Bước 5.2

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

Bước 5.3

Giả sử $u = 2 x y$ . Sau đó $d u = 2 x d y$ , nên $\frac{1}{2 x} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Hãy đặt $u = 2 x y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Tính đạo hàm $2 x y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

Bước 5.3.1.2

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 5.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x \cdot 1$

Bước 5.3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x$

Bước 5.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

Bước 5.4

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

Bước 5.5

Vì $\frac{1}{2 x}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2 x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x}$ và $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Bước 5.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Bước 5.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Bước 5.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Bước 5.8

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Bước 5.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.3

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.6

Kết hợp $e^{2 x y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.7

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2 x y}}{2}$ .

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.8

Kết hợp $\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ và $y$ .

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.3.9.2

Chia $e^{2 x y} y$ cho $1$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $y e^{2 x y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $y e^{2 x y}$ khỏi $y e^{2 x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x y}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$