Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

Bước 1

Để $v = \frac{d y}{d x}$ . Sau đó $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{d v}{d x}$ cho $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 x + C_{1}}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 7.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 7.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Bước 7.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Bước 7.5

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

Bước 7.6

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

Bước 7.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

Bước 7.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.9

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

Bước 7.10

Viết lại $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ ở dạng $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

Bước 7.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Bước 7.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Bước 7.12.1.2

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Bước 7.12.1.3

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Bước 7.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Bước 7.12.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Bước 7.12.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Bước 7.12.3.3

Viết lại biểu thức.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Bước 7.12.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{2 x}}{4}$ vào tử số.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Bước 7.12.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Bước 7.12.4.3

Viết lại biểu thức.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ cho $e^{2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ cho $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.1.2

Chia $2 x$ cho $1$ .

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Bước 10

Viết lại phương trình.

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

Bước 11

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.3.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.3.6

Vì $C_{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $C_{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

Bước 11.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.1

Làm âm số mũ của $e^{2 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Bước 11.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

Bước 11.3.7.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

Bước 11.3.7.2.2

Nhân $e^{- 2 x}$ với $1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

Bước 11.3.8

Giả sử $u_{2} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1

Hãy đặt $u_{2} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 11.3.8.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.3.8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 11.3.8.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 11.3.8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 11.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 11.3.9.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 11.3.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Bước 11.3.11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Bước 11.3.12

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

Bước 11.3.13

Rút gọn.

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

Bước 11.3.14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 x$ .

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

Bước 11.3.15

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

Bước 11.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$