Giải tích Ví dụ

$2 x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Bước 1

Trừ $2 x (1 + y^{2}) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y (1 + x^{2}) d y = - 2 x (1 + y^{2}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{1 + y^{2}}$ và $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Bước 3.5.2

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Bước 3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Bước 3.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Bước 4.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4.2.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Bước 4.2.1.1.5

Cộng $0$ và $2 y$ .

$2 y$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{1}{u_{1}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Bước 4.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.4

Giả sử $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.4.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 4.3.4.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 4.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 4.3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 4.3.9

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 4.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |)) + 2 C$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Bước 5.3

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Bước 5.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Bước 5.4.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Bước 5.4.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Bước 5.5

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2})} = e^{2 C}$

Bước 5.6

Viết lại $\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}$

Bước 5.7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Viết lại phương trình ở dạng $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$

Bước 5.7.2

Chia mỗi số hạng trong $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ cho ${(1 + x^{2})}^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ cho ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 5.7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 5.7.2.2.1.2

Chia $| 1 + y^{2} |$ cho $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 5.7.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 5.7.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1$

Bước 5.7.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Bước 6.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$