Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 12$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 4 d t}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{4 t + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{4 t}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{4 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 12$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 12$

Bước 2.3

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 12 \cdot e^{4 t}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 12 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 12 e^{4 t}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 12 e^{4 t}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 12 e^{4 t} d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{4 t} y = \int 12 e^{4 t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $12$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 t} y = 12 \int e^{4 t} d t$

Bước 6.2

Giả sử $u = 4 t$ . Sau đó $d u = 4 d t$ , nên $\frac{1}{4} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u = 4 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Bước 6.2.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 6.2.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{4 t} y = 12 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Bước 6.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 12 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 6.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 t} y = 12 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $12$ .

$e^{4 t} y = \frac{12}{4} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{4 t} y = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$e^{4 t} y = 3 \int e^{u} d u$

Bước 6.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = 3 (e^{u} + C)$

Bước 6.7

Rút gọn.

$e^{4 t} y = 3 e^{u} + C$

Bước 6.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 t$ .

$e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$ cho $e^{4 t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$ cho $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $3$ cho $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{4 t}}$