Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = y e^{- t}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y e^{- t})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- t}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (e^{- t}))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y e^{- t})$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = e^{- t}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = e^{- t} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- t} d t$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = - t$ . Sau đó $d u = - d t$ , nên $- d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = - t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Bước 2.3.1.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Bước 2.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - e^{- t} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- t} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - e^{- t} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- e^{- t} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- e^{- t} + C}$ .

$| y | = e^{- e^{- t} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- e^{- t} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- e^{- t} + C}$ ở dạng $e^{- e^{- t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- e^{- t}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- e^{- t}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- e^{- t}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- e^{- t}}$