Giải tích Ví dụ

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{2 x} y - x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2 e^{2 x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 e^{2 x} y$ đối với $y$ là $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $2 e^{2 x}$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 3.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

Bước 3.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2 e^{2 x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 e^{2 x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

Bước 6

Lấy tích phân $N (x, y) = e^{2 x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 x} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{2 x} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 9.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{2 x} y - x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

Bước 10.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Trừ $2 y e^{2 x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

Bước 10.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.2.1

Trừ $2 y e^{2 x}$ khỏi $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Bước 10.1.2.2.2

Cộng $- x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $- x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Bước 11.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int x d x$

Bước 11.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 11.5

Viết lại $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 13

Rút gọn $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$