Giải tích Ví dụ

$3 x^{2} e^{y} d x + (x^{3} e^{y} - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} e^{y}]$

Bước 1.2

Vì $3 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} e^{y}$ đối với $y$ là $3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{y}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{3} e^{y} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y} - 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} e^{y} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $e^{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{3} e^{y}$ đối với $x$ là $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $3 e^{y} x^{2}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2}$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{y} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{y}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3 x^{2} e^{y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 x^{2} e^{y}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3 e^{y}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3 e^{y}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 5.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 5.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} e^{y} x^{3} + C$

Bước 5.3.2.2

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $e^{y}$ .

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $e^{y}$ cho $1$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{y} x^{3} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{y} x^{3}$ đối với $y$ là $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} = x^{3} e^{y} - 1$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $x^{3} e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x^{3} e^{y}$ khỏi $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 1$

Bước 9.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- 1$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 d y$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = - y + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$ .

$f (x, y) = x^{3} e^{y} - y + C$