Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Cộng $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{3}{2 t + 25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = 2 t + 25$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = 2 t + 25$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Bước 2.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 25$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 2.2.2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 2.2.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 2.2.2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 2.2.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.4.1

Vì $25$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $25$ đối với $t$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.2.2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Bước 2.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 2.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2 t + 25}$ và $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2.2

Kết hợp ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2.3

Đưa $2 t + 25$ ra ngoài ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân với $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2.4.3

Viết lại biểu thức.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2.4.4

Chia ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ cho $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Bước 3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 7.2

Giả sử $u = 2 t + 25$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Hãy đặt $u = 2 t + 25$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Tính đạo hàm $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Bước 7.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 25$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 7.2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 7.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 7.2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Bước 7.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.4.1

Vì $25$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $25$ đối với $t$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 7.2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 7.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Bước 7.3

Kết hợp $u^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Bước 7.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 7.5.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 7.5.3

Nhân $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ với $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 7.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ cho ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ cho ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3.3

Để viết $C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Kết hợp $C$ và $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 8.3.7

Nhân $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ với $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$