Giải tích Ví dụ

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + x^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + x^{2}$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + x^{2}$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + 1$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x} + 1$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V + 1$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V + 1$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V + 1 - V$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V^{2} + V + 1 - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0 + 1$

Bước 6.1.1.1.2.2

Cộng $V^{2}$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Bước 6.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Bước 6.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $V^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Bước 6.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Sắp xếp lại $V^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ đối với $V$ là $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $V$ ra khỏi bên trong arctang.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$