Giải tích Ví dụ

$(x + 2) d x - x d y = 0$

Bước 1

Trừ $(x + 2) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x d y = - (x + 2) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Bước 3.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Bước 3.6

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

Bước 3.6.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x}$ .

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Bước 4.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.6

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ .

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ ở dạng $- (- 2 \ln (| x |))$ .

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.5

Nhân $- (- 2 \ln (| x |))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.5.1

Rút gọn $- 2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.5.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.5.3

Nhân $\ln ({| x |}^{2})$ với $1$ .

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.6

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Bước 5.3.1.7

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

Bước 5.3.1.8

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = x + \ln (x^{2}) + C$