Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Bước 1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{2 - x^{3}}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.4

Nhân $- x^{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Bước 2.3.2.2.4.2

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Bước 2.3.3

Giả sử $u = - 2 + x^{3}$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u = - 2 + x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Bước 2.3.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 + x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3.3.1.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3.3.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Bước 2.3.3.1.5

Cộng $0$ và $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.4

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 2.3.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Bước 2.3.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ ở dạng $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Bước 6.2.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Bước 6.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ cho $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ cho $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Bước 6.3.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Bước 7

Thay $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ cho $C$ trong $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ bằng $C$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ và $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Bước 7.3

Đưa $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ ra ngoài $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Bước 7.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Bước 7.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Bước 7.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Bước 7.4.4

Chia $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ cho $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Bước 7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Bước 7.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Bước 7.5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Bước 7.5.2

Nhân $e^{- 2 + x^{3}}$ với $e^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Bước 7.5.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 2 + x^{3} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.2.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Bước 7.5.2.2.2

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$