Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Sau đó $d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $t + \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + \frac{π}{12}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $\frac{π}{12}$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $\frac{π}{12}$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.9

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 2.3.9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 2.3.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 2.3.10

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 2.3.11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 2.3.12

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Bước 2.3.13

Rút gọn.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Bước 2.3.14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Bước 2.3.14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Bước 2.3.14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Bước 2.3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.3

Kết hợp $\sin (2 t + \frac{π}{6})$ và $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.5.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.5.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ vào tử số.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.15.5.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.15.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.15.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.5.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $3$ cho $s$ trong $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ .

$3 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$ .

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Bước 4.2.1.1.3

Cộng $0$ và $\frac{π}{6}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 3$

Bước 4.2.1.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 3$

Bước 4.2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 3$

Bước 4.2.1.2

Cộng $0$ và $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{3} - 1 + K = 3$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{π}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 1 + K = 3 - \frac{π}{3}$

Bước 4.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 3 - \frac{π}{3} + 1$

Bước 4.3.3

Cộng $3$ và $1$ .

$K = 4 - \frac{π}{3}$

Bước 5

Thay $4 - \frac{π}{3}$ cho $K$ trong $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $4 - \frac{π}{3}$ bằng $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Bước 5.2.2

Trừ $π$ khỏi $π$ .

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Bước 5.3

Chia $0$ cho $3$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Bước 5.4

Cộng $4 t$ và $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$