Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Bước 1

Để $v = \frac{d y}{d x}$ . Sau đó $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{d v}{d x}$ cho $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

Bước 2

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Bước 2.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{v}$ đối với $v$ là $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Bước 4

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Bước 4.2

Viết lại $\ln (| v |) = x + C_{3}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Bước 4.3

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Bước 4.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $e^{x + C_{3}}$ ở dạng $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Bước 5.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v = C_{4} e^{x}$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Bước 7

Viết lại phương trình.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Bước 8

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Bước 8.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $C_{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $C_{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Bước 8.3.2

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Bước 8.3.3

Rút gọn.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Bước 8.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Bước 8.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = e^{x} C + D$