Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{x - 3}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = x \sqrt{x - 3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x \sqrt{x - 3} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x \sqrt{x - 3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sqrt{x - 3}$ .

$y + C_{1} = x (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 2.3.4

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 2.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.4.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Viết lại $\frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.2

Kết hợp $\frac{2 x}{3}$ và ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.3

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.5

Nhân $5$ với $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.6

Để viết $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.7

Kết hợp $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.9

Kết hợp $u^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{4}{15}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.10

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.11

Kết hợp $- 3$ và $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.12

Nhân $4$ với $- 3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.13

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.14.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.16

Để viết $2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.17

Kết hợp $2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{5}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.19

Nhân $5$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.20

Viết lại $\frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ ở dạng một tích.

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.21

Nhân $\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ với $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.22

Nhân $5$ với $3$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + K$