Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$y + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$