Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d t} = 4 e^{t} - 4$ ; , $x (0) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d x = (4 e^{t} - 4) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d x = \int 4 e^{t} - 4 d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} - 4 d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} d t + \int - 4 d t$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$x + C_{1} = 4 \int e^{t} d t + \int - 4 d t$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) + \int - 4 d t$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) - 4 t + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$x + C_{1} = 4 e^{t} - 4 t + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$x + C_{1} = - 4 t + 4 e^{t} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$x = - 4 t + 4 e^{t} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $2$ cho $x$ trong $x = - 4 t + 4 e^{t} + K$ .

$2 = - 4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 2$ .

$- 4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn $- 4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $- 4$ với $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$0 + 4 + K = 2$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $4$ .

$4 + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 2 - 4$

Bước 4.3.2

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$K = - 2$

Bước 5

Thay $- 2$ cho $K$ trong $x = - 4 t + 4 e^{t} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 2$ bằng $K$ .

$x = - 4 t + 4 e^{t} - 2$