Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 25 + y^{2}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{25 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{25 + y^{2}} (25 + y^{2})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $25 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{25 + y^{2}} (25 + y^{2})$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{25 + y^{2}} d y = 1 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{25 + y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\int \frac{1}{5^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{5^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\arctan (\frac{y}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.3.2

Viết lại $\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} + C_{1}$ ở dạng $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$ với $5$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$ với $5$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $y$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Bước 3.1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\arctan (\frac{y}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Bước 3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Bước 3.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\arctan (\frac{y}{5}) = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$\arctan (\frac{y}{5}) = 5 \cdot x + K \cdot 5$

Bước 3.1.3.1.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $K$ .

$\arctan (\frac{y}{5}) = 5 x + 5 K$

Bước 3.2

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$\frac{y}{5} = \tan (5 x + 5 K)$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $5$ .

$5 \frac{y}{5} = 5 \tan (5 x + 5 K)$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{y}{5} = 5 \tan (5 x + 5 K)$

Bước 3.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 5 \tan (5 x + 5 K)$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = 5 \tan (5 x + K)$