Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y + 1$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\arctan (x) + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (x) + C} = | y + 1 |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\arctan (x) + C}$

Bước 3.3.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{\arctan (x) + C} - 1$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\arctan (x) + C}$ ở dạng $e^{\arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C} - 1$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\arctan (x)}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)} - 1$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\arctan (x)} - 1$