Giải tích Ví dụ

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x^4-y^2}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[x^4\right]+\frac{d}{dy}[-y^2]}$.

Vì ${\displaystyle x^4}$ là hằng số đối với ${\displaystyle y}$, đạo hàm của ${\displaystyle x^4}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 0}$ và ${\displaystyle \frac{d}{dy}[-y^2]}$.

Vì ${\displaystyle -1}$ không đổi đối với ${\displaystyle y}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle -y^2}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle -\frac{d}{dy}\left[y^2\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ là ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=2}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle -1}$.

Nhân ${\displaystyle x^4-y^2}$ với ${\displaystyle 1}$.

Trừ ${\displaystyle y^2}$ khỏi ${\displaystyle -2y^2}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x^4+y^2}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^4\right]+\frac{d}{dx}\left[y^2\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=4}$.

Vì ${\displaystyle y^2}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle y^2}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 4x^3}$ và ${\displaystyle 0}$.

Nhân ${\displaystyle x^4+y^2}$ với ${\displaystyle 1}$.

Cộng ${\displaystyle 4x^4}$ và ${\displaystyle x^4}$.

Thay ${\displaystyle x(x^4+y^2)}$ bằng ${\displaystyle N}$.

Rút gọn tử số.

Triệt tiêu thừa số chung của ${\displaystyle -x^4-y^2}$ và ${\displaystyle x^4+y^2}$.

Nhân ${\displaystyle 4}$ với ${\displaystyle -1}$.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Rút gọn ${\displaystyle -4\ln \left(\left|x\right|\right)}$ bằng cách di chuyển ${\displaystyle -4}$ trong logarit.

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${\displaystyle {\left|x\right|}^{-4}}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Di chuyển ${\displaystyle y^2}$.

Nhân ${\displaystyle y^2}$ với ${\displaystyle y}$.

Cộng ${\displaystyle 2}$ và ${\displaystyle 1}$.

Đưa ${\displaystyle y}$ ra ngoài ${\displaystyle y{x}^4-y^3}$.

Viết lại ${\displaystyle x^4}$ ở dạng ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^2}$.

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, ${\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$ trong đó ${\displaystyle a=x^2}$ và ${\displaystyle b=y}$.

Đưa ${\displaystyle x}$ ra ngoài ${\displaystyle x^4}$.

Triệt tiêu thừa số chung.

Viết lại biểu thức.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ và ${\displaystyle y^3}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{4}y+\frac{y^3}{3}}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x^{4}y+\frac{y^3}{3}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{4}y\right]+\frac{d}{dx}\left[\frac{y^3}{3}\right]}$.

Vì ${\displaystyle y}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle x^{4}y}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle y\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=4}$.

Vì ${\displaystyle \frac{y^3}{3}}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{y^3}{3}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Viết lại ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ ở dạng ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-1}}$.